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\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie \\
		\normalsize Blatt 4 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{TutorIn:} Mein(e) Lieblingstutor(in)
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}

	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~21 vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 4.1} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $f(x):=x^n+ax+b\in\Q[x]$ mit $a,b\in\Q$, $n\in\N$ ein irreduzibles Polynom mit Nullstelle $\alpha\in\C$, $L:=\Q(\alpha)$, $y=\frac{-nb}{x+(n-1)a}\in\Q(x)$ und betrachten Sie die rationale Funktion $f(y)=\frac{p(x)}{q(x)}$ für geeignete $p,q\in\Q[x]$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Bestimmen Sie explizit ein geeignetes normierte Polynom $p$ des Grades $n$ für $f(y)$ und ermitteln Sie $p(0)$. Warum ist $p$ eindeutig?
		\item Vollziehen Sie \textit{Proposition/Beispiel} auf Seite 2 von Skript 20 anhand von $f(x):=x^3+2x+1$ nach und vergleichen Sie Ihre Erkenntnis mit Ihrem Ergebnis aus \textit{Aufgabe 3.1}.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	\\\\
	
	\
		
	\textbf{Aufgabe 4.2} \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $n\in\N$ und $\Gamma\subseteq\R^n$ ein vollständiges Gitter mit Basis $\mathcal{B}:=\{v_1,\ldots,v_n\}$ und fundamentalem Parallelotop $T_\Gamma$.
	Beweisen Sie $$v(T_\Gamma)=\left\vert\det\left(\begin{array}{c} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)\right\vert.$$
	
	\textbf{Lösung:}
	\\\\
	
	\
	
	\newpage
	\textbf{Aufgabe 4.3} \hfill 	\textbf{[1+2,5+0,5 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $\tau\in\R$, $s,t\in\N_0$, $(s,t)\neq (0,0)$,
	$$X(s,t,\tau):=\{(x_1,\ldots,x_s,a_1,b_1,\ldots,a_t,b_t)\in\R^s\times\R^{2t} \mid \sum\limits_{i=1}^s\vert x_i\vert +2\sum\limits_{j=1}^t\vert a_j^2+b_j^2\vert^{\frac{1}{2}}\leq\tau\}.$$
	und 
	$$Y(s,t,\tau):=\{(x_1,\ldots,x_s,a_1,b_1,\ldots,a_t,b_t)\in\R^s\times\R^{2t} \mid x_1,\ldots,x_s\geq 0\}\cap X(s,t,\tau).$$
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Beweisen Sie durch Induktion nach $s$ und der Verwendung des Satzes von Fubini, dass das Volumen von $Y(s,0,\tau)$ durch $v(Y(s,0,\tau))=\frac{\tau^s}{s!}$ gegeben ist.
		\item Beweisen Sie durch Induktion nach $t$, der Verwendung des Satzes von Fubini und der Ausnutzung von Polarkoordinaten, dass das Volumen von $Y(s,t,\tau)$ durch $v(Y(s,t,\tau))=\left(\frac{\pi}{2}\right)^t\frac{\tau^{s+2t}}{(s+2t)!}$ gegeben ist.
		\item Folgern Sie $v(X(s,t,\tau))=2^s\left(\frac{\pi}{2}\right)^t\frac{\tau^{s+2t}}{(s+2t)!}.$
	\end{enumerate}
	 
	 \textbf{Lösung:} 
	 \\
	 
	 \
	
	\textbf{Aufgabe 4.4*} \hfill 	\textbf{[1+1+1+1 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $p\in\N$ eine Primzahl. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $p\neq 2$. 
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Beweisen Sie die Existenz geeigneter ganzer Zahlen $m$ und $n$ mit $$m^2+n^2+1\equiv 0 \mod p.$$
			\item Fixieren Sie $m,n\in\Z$ gemäß (i) und betrachten Sie die Menge $$\Gamma:=\{(a,b,c,d)\in\Z^4\mid c\equiv ma+nb \mod p,\ d\equiv mb-na \mod p\}.$$ Zeigen Sie, dass $\Gamma$ ein vollständiges Gitter in $\R^4$ ist. 
			\item Sei $T_\Gamma$ ein fundamentales Parallelotop von $\Gamma$ mit Volumen $v(T_\Gamma)=p^2$. Beweisen Sie unter Verwendung von \textit{Satz 21.8 (Minkowski)} die Existenz geeigneter ganzer Zahlen $a,b,c$ und $d$ mit $$p=a^2+b^2+c^2+d^2.$$
		\end{enumerate}
		\item Folgern Sie, dass jede natürliche Zahl eine Summe aus vier Quadraten ganzer Zahlen ist.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} 
	
	\
		
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 15.\ Juli 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor / die Tutorin. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}